取xu003dyu003d0,记f(0)u003dc,则f(0)u003dc.若cu003d0,取yu003d0,
则f(x)u003d0对任意的实数x均成立,则了(x)u003d0,经检验符合要求.
若c≠0,取yu003dc2,则c+f(x+c2)u003df(cu0027x),于是f(x+e2)*f(eu0027x)恒成立,这说明关于x的方程x+c2u003dc2x无解,故c2u003d1,cu003d±1.
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若cu003d1,则/(0)u003d1,f(1)u003d0且VxeR,f(x+1)u003df(x)-1....
简单来说还是分类讨论的思想,看着过程很多,但难度却不大,这题的难度连国决的第一题都不配!
张尧依然是用一种方法解答,一种方法验算,只要结果相同,他就完全不用操心正确率问题!
第三题就没这么容易了,一般来说第三题也是每天最难的一道题。
一名猎人和一只隐形兔在欧式平面上玩游戏,兔子的始点A,和猎人的始点B,相同,经过n-1轮游戏后,兔子在点A而猎人在点B,在第"轮游戏后.....
问是否存在这样的可能,不论兔子怎么移动,并且不论追踪设备报告了什么点,猎人总可以选择他的移动方式,使得经过10°轮游戏后,猎人与兔子之间的距离不超过100.
这题看上去考的是概率问题,但实际上并不是如此,用组合方法来做这道题很容易掉到坑里去。
这题最好用的其实是反证法,最后只要得出的结论与公理,定理相违背,就一定是错的!
事实上结果确实也是不可能!这道题让张尧难得起了兴趣,他先用反证法证明出结果,再正向用另一种方法证明!
首先,第一次让追踪设备报告点Ru003dA,那么不管猎人如何移动都有可能与兔子移动方向相反,此时距离A1B1u003d2
假设第s步之后AsBsu003dd≥2,对于整数n≥2d,兔子要么经过直线CC,…C到达C,要么经过直线D,D…D到达D,追踪设备报告的点依次为PPP...
但这两种方法写完张尧还没尽心,他总觉得这道题还有其他的证明方法。
于是他先从他最熟悉的方法下手,把染色概念引入这道题,把到他之前看的某篇论文中的方法应用进来!
不妨设隐形兔走过的路线染色点a,把猎人走的路线用设为染色点b...
这道题依然能得出来最后的答案!
但这种方法写完后,他还剩两个小时的时间!
没办法!前两题太容易了!加起来一个个小时就结束了!而且题目比较古板,没什么其他方法好用。
反而这道题充满了无限的可能性!张尧把又从脑中翻出了一种方法。
最后证着证着,他发现居然用组合方法也能证明出来!不同于常规组合的解题思路,去分类讨论可能性。
这还是他从陶哲轩的论文中看到了一种新的定义方法!居然和这道题切合度这么高!张尧一开始做的时候还没发现,但做着做着就感觉熟悉,没想到这题居然还能这么做!
在张尧把四种方法一一写在答题纸上,然后又在草稿纸上演算了另一种可能性,但却放弃了。
因为他准备交卷了,虽然还有半个小时,他却不准备再写下去。
没有必要,炫技已经炫的足够多了!再做下去就不礼貌了!
第一天的试题难度确实不大,张尧交卷的时候已经交了一半的学生了。王浩和姜复更是已经在外面等着他了!
看到张尧出来,他们不用问也知道这种题张尧不可能出问题,只是不知道他被哪道题迷成这样!居然这时候交卷!
正当张尧准备和他们交谈时,不速之客出现了,在张尧前提前几步出来的学生正用一种蔑视的眼光看着他!
他大放厥词道:“今年华国的水平不行,他们的队长居然这时候才结束!比他还差点!一年不如一年了!”
张尧抬头望去,居然是樱花国的一名选手!说这句话的时候他是说的英语,但和旁边的再交流时他自己切换成了日语!
这时奥国的选手也道:“今年试卷太容易,搞不好他这种水平还能混个满分,果然IMO也没意思了!明年我还是不参加了。”
米国选手也道:“是啊,要知道今年是这个水平我也不来了,还不如去普林斯顿上学!我都拿了一届金牌了,这届实在没意思!”
见他们如此说,姜复和王浩先忍不下去了,姜复道:“看来阁下对这次的满分势在必得了?”
日本选手道:“那是当然!”
王浩道:“既然阁下如此有信心,我就和阁下比比吧!”
“比什么?”
姜复道:“就比谁能两天都得满分!输的以后看见对方,请绕道。”
日本选手道:“比就比!谁怕谁!”
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